Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AD＝PD.

(1)求證：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)若二面角Q-BP-C的余弦值為－，求的值．

Answer 1

（1）見解析（2）1

(1)證明:設AD＝1，則DQ＝，DP＝2，又∵PD∥QA，∴∠PDQ＝∠AQD＝45°，在△DPQ中，由余弦定理可得PQ＝.
∴DQ²＋PQ²＝DP²，∴PQ⊥DQ，又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，∵CD⊥DA，DA∩PD＝D，∴CD⊥平面ADPQ.∵PQ?平面ADPQ，∴CD⊥PQ，又∵CD∩DQ＝D，∴PQ⊥平面DCQ.又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)解　如圖，以D為坐標原點，DA，DP，DC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系D-xyz.

設AD＝1，AB＝m(m>0)．
依題意有D(0,0,0)，C(0,0，m)，P(0,2,0)，Q(1,1,0)，B(1,0，m)，則＝(1,0,0)，＝(－1,2，－m)，＝(1，－1,0)，
設n₁＝(x₁，y₁，z₁)是平面PBC的法向量，則即
因此可取n₁＝(0，m,2)．
設n₂＝(x₂，y₂，z₂)是平面PBQ的法向量，則即
可取n₂＝(m，m,1)．
又∵二面角Q-BP-C的余弦值為－，∴|cos 〈n₁，n₂〉|＝|－|.
∴＝，整理得m⁴＋7m²－8＝0.
又∵m>0，解得m＝1.因此，所求的值為1