Question

已知函數f（x）=x²-x+2，數列{a_n}滿足遞推關系式：a_n+1=f（a_n），n≥1，n∈N，且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）用數學歸納法證明：當n≥5時，a_n＜2-；
（3）證明：當n≥5時，有．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，先得數列的遞推關系式為，再依次代入可求a₂，a₃，a₄的值；
（2）先證明當n=5時，結論成立；再假設結論對n=k（k≥5）成立，利用函數在x＞1時為增函數，，可以證得當n=k+1時結論也成立．從而命題成立；
（3）由數列的遞推關系式為，可得，利用裂項法求和，問題可證．
解答：解：（1）根據a₁=1及計算易得       …（3分）
（2）證明：①，
而＞，故a₅＜2，即當n=5時，結論成立．…（5分）
②假設結論對n=k（k≥5）成立，．
因≥，而函數在x＞1時為增函數，所以
，
即當n=k+1時結論也成立．
綜合①、②可知，不等式對一切n≥5都成立．…（9分）
（3）由可得，而a₁=1，于是         …（11分）

于是當n≥5時，，故所以．…（14分）
點評：本題的考點是數學歸納法，主要考查數列的遞推公式，考查數列與函數的關系，考查數學歸納法，關鍵是第二步的推理論證，對于數列中的求和問題，應主要裂項法的應用．