Question

已知橢圓：，直線交橢圓于兩點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及長(zhǎng)軸長(zhǎng)；
（Ⅱ）求以線段為直徑的圓的方程.

Answer 1

（Ⅰ）焦點(diǎn)坐標(biāo)，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）將橢圓方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可知的值，根據(jù)可求，即可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)及長(zhǎng)軸長(zhǎng)。（Ⅱ）將直線和橢圓方程聯(lián)立，消去得關(guān)于的一元二次方程，可求出兩根，即為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別代入直線方程可得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求中點(diǎn)即圓心的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式可求半徑。
試題解析：解：（Ⅰ）原方程等價(jià)于.
由方程可知：，，，.         3分
所以 橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.     5分
（Ⅱ）由可得:.
解得：或.
所以 點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.                      7分
所以 中點(diǎn)坐標(biāo)為，.      9分
所以 以線段為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.
所以 以線段為直徑的圓的方程為.        11分
考點(diǎn)：1、橢圓的方程；2、直線與橢圓的相交弦問題；3、求圓的方程。