Question

求垂直于直線3x-4y-7=0，且與兩坐標軸構成周長為10的三角形的直線方程．

Answer 1

分析：設出直線與x軸和y軸的截距并表示出所求直線的截距式方程，然后利用垂直得到斜率乘積為-1根據已知直線的斜率表示出該直線的斜率，即可得到關于a與b的一個關系式；同時再根據與兩坐標軸構成的三角形周長為10表示出關于a和b的另一個關系式，兩個關系式聯立求出a和b，代入截距式方程即可得到．

解答：解：由所求直線能與坐標軸圍成三角形，
則所求直線在坐標軸上的截距不為0，
故可設該直線在x軸、y軸上的截距分別為a，b，則該直線方程為

x

a

+

y

b

=1，可得斜率為-

b

a

，
又該直線垂直于直線3x-4y-7=0，得到該直線的斜率為-

4

3

，則-

b

a

=-

4

3

即

b

a

=

4

3

；
且該直線與兩坐標軸構成周長為10的三角形得到|a|+|b|+

a2+b2

=10，
聯立

b a = 4 3 |a|+|b|+ a2+b2 =10

，
解得：

a= 5 2 b= 10 3

或

a=- 5 2 b=- 10 3

，所以所求直線方程為

x

5 2

+

y

10 3

=1或

x

- 5 2

+

y

- 10 3

=1，
化簡得：4x+3y-10=0或4x+3y+10=0．

點評：此題為一道中檔題，既考查了學生掌握兩直線垂直時斜率滿足的條件又考查了學生會根據截距表示出直線的方程．同時要求學生會根據已知條件列出相應的關系式．是高考中經常考的類型題．