Question

某工廠生產A，B兩種元件，其質量按測試指標劃分，指標大于或等于82為正品，小于82為次品．現隨機抽取這兩種元件各100個進行檢測，檢測結果統計如下：

測試 指標	[70,76)	[76,82)	[82,88)	[88,94)	[94,100]
元件A	8	12	40	32	8
元件B	7	18	40	29	6

(1)試分別估計元件A，元件B為正品的概率；
(2)生產1個元件A，若是正品則盈利40元，若是次品則虧損5元；生產1個元件B，若是正品則盈利50元，若是次品則虧損10元．在(1)的前提下，
(ⅰ)X為生產1個元件A和1個元件B所得的總利潤，求隨機變量X的分布列和數學期望；
(ⅱ)求生產5個元件B所得利潤不少于140元的概率．

Answer 1

（1）
（2）(ⅰ) 隨機變量X的分布列為

X	90	45	30	－15
P

 
數學期望E(X)＝66
(ⅱ)

(1)由題意知，元件A為正品的概率約為＝．
元件B為正品的概率約為＝．
(2)(ⅰ)隨機變量X的所有可能取值為90,45,30，－15．
P(X＝90)＝×＝；
P(X＝45)＝×＝；
P(X＝30)＝×＝；
P(X＝－15)＝×＝．
所以，隨機變量X的分布列為

X	90	45	30	－15
P

 
數學期望E(X)＝90×＋45×＋30×＋(－15)×＝66．
(ⅱ)設生產的5個元件B中正品有n個，則次品有(5－n)個．
依題意，得50n－10(5－n)≥140，解得n≥，
所以n＝4或n＝5．
設“生產5個元件B所得利潤不少于140元”為事件A，
則P(A)＝ ()⁴×＋()⁵＝．