Question

【題目】已知函數。

（1）若函數的一個極值點為，求的單調區間；

（2）若，且關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) 的單調遞增區間為，的單調遞減區間為。(2)

【解析】

（1）根據函數的極值點，求得的值，得到函數解析式，利用導數的符號，即可求得函數的單調區間；

（2）當時，符合題意，

當時， ，該方程有一正一負根，即存在，使得在上單調遞減，在上單調遞增，結合，求得的取值范圍，即可求得的范圍．

（1）依題可知函數的定義域為，且，

因為 函數的一個極值點為，所以，即，得，

經檢驗，符合題意，所以，

所以，

令，即，解得，

令即，解得，

所以的單調遞增區間為，的單調遞減區間為．

（2）當時，符合題意，

當時，，令，

因為，所以，則該方程有兩不同實根，且一正一負，

即存在，使得，

可知時，，時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，

所以，即，

因為在上單調遞增，且時，，所以，

由，得，

設，則，故在上單調遞減，

所以，即為的范圍，

綜上所述，實數的取值范圍是．