Question

已知函數f（x）的定義域為R，則下列命題中：?
①若f（x-2）是偶函數，則函數f（x）的圖象關于直線x=2對稱；?②若f（x+2）=-f（x-2），則函數f（x）的圖象關于原點對稱；?③函數y=f（2+x）與函數y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱；?④函數y=f（x-2）與函數y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱．?
其中正確的命題序號是

④

．?

Answer 1

分析：①由函數圖象的變化規律知，f（x-2）的圖象是由f（x）的圖象向右平移兩個單位
②由f（x+2）=-f（x-2）變形得f（x+8）=f（x）是周期函數．?
③函數y=f（2+x）是由f（x）向左平移2個單位，函數y=f（2-x）的圖象是由f（-x）的圖象向右平移2個單位，可得．④特殊圖象法，函數f（x-2）是由f（x）的圖象向右平移兩個單位，函數y=f（2-x）的圖象是由f（-x）的圖象向右平移兩個單位．

解答：解：①不正確．因為f（x-2）的圖象是由f（x）的圖象向右平移兩個單位而得到，結合f（x-2）是偶函數知，f（x）的圖象關于x=-2對稱，
?②由f（x+2）=-f（x-2）變形得f（x+8）=f（x）是周期函數．不能得出函數f（x）的圖象關于原點對稱，故不正確．?

③不正確，因為函數y=f（2+x）是由f（x）向左平移2個單位，函數y=f（2-x）的圖象是由f（-x）的圖象向右平移2個單位，故兩函數的圖象仍然關于原點對稱．

?④如圖所示，正確．
故答案為：④

點評：本題主要考查函數的圖象及其圖象間的變換，對于常見的類型如：f（x+2）=f（2-x），f（x+2）=-f（2-x），f（x+2）=f（x-2），y=f（x+2）與y=f（2-x）間的關系，要熟練掌握．