Question

【題目】已知橢圓和雙曲線焦點F1 ， F2相同，且離心率互為倒數，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當∠F1PF2=60°時，橢圓的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設F1P=m，F2P=n，F1F2=2c；
由余弦定理得，（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn；
設a1是橢圓的長半軸，a2是雙曲線的實半軸；
由橢圓及雙曲線定義，得m+n=2a1 ， m﹣n=2a2；
∴m=a1+a2 ， n=a1﹣a2 ， 將它們代入前式得3a22﹣4c2+a12=0；
∵離心率互為倒數；
∴ ，∴c2=a1a2；
∴ （a2﹣a1）=0；
根據題意，a2≠a1 ， ∴a1=3a2；
∴e1e2=
即3e12=1；
∴e1= ．
故選：A．