Question

【題目】如圖所示，三棱柱A1B1C1﹣ABC的側棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AA1 ， D是棱CC1的中點．

（Ⅰ）證明：平面AB1C⊥平面A1BD；
（Ⅱ）在棱A1B1上是否存在一點E，使C1E∥平面A1BD？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵AA1⊥底面ABC，AC平面ABC，∴AA1⊥AC，

又∵AB⊥AC，AA1∩AB=A，∴AC⊥平面ABB1A1，

又∵A1B平面ABB1A1，∴AC⊥A1B，

∵AB=AA1，∴A1B⊥AB1，

又∵AB1∩AC=A，∴A1B⊥平面AB1C，

又∵A1B平面A1BD，∴平面AB1C⊥平面A1BD．

（Ⅱ）當E為A1B1的中點時，C1E∥平面A1BD．下面給予證明．

設AB1∩A1B=F，連接EF，FD，C1E，

∵EF= AA1，EF∥AA1，且C1D= AA1，C1D∥AA1，

∴EF∥C1D，且EF=C1D，

∴四邊形EFDC1是平行四邊形，

∴C1E∥FD，又∵C1E平面A1BD，FD平面A1BD，

∴C1E∥平面A1BD．

【解析】（Ⅰ）本小題利用“如果一個平面過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直”；（Ⅱ）證明一條直線平行于一個平面只需證明在平面內有一條直線與該直線平行即可.
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．