Question

如圖所示，角A為鈍角，且sinA=

3

5

，點P、Q分別在角A的兩邊上．
（1）AP=5，PQ=3

5

，求AQ的長；
（2）設∠APQ=α，∠AQP=β，且cosα=

12

13

，求sin（2α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）由A為鈍角，利用同角三角函數間的基本關系求出cosA的值，然后利用余弦定理得到關于AQ的方程，求出方程的解即可得到滿足題意的AQ的長；
（2）由cosα的值利用同角三角函數間的基本關系求出sinα的值，根據三角形的內角和定理及誘導公式求出sinA的值及cosA的值，然后把2α+β變為α+（α+β），利用兩角和的正弦函數公式化簡后，分別將各自的值代入即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）∵∠A是鈍角，sinA=

3

5

，∴cosA=-

4

5

，
在△APQ中，PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQcosA，
∴45=25+AQ2-2×5AQ•(-

4

5

)，
解得AQ=2或AQ=-10（舍）即AQ=2；
（2）由cosα=

12

13

，得sinα=

5

13

，
又sin（α+β）=sinA=

3

5

，cos（α+β）=-cosA=

4

5

，
∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=

5

13

•

4

5

+

12

13

•

3

5

=

56

65

．

點評：此題要求學生靈活運用余弦定理化簡求值，掌握三角形的內角和定理，靈活運用兩角和的正弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡求值，是一道綜合題．