Question

已知函數f（x）=

3x+1

x+2

．
（Ⅰ）判斷函數在區間[1，+∞）上的單調性，并用定義證明你的結論；
（Ⅱ）求該函數在區間[1，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）可將原函數變成f（x）=3-

5

x+1

，根據單調性的定義，通過該函數解析式即可判斷函數f（x）在[1，+∞）上為增函數．可利用求函數導數，判斷導數符號的方法來證明該結論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）即知f（x）在[1，5]上單調遞增，所以最大值f（5），最小值f（1）．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）在[1，+∞）上是增函數，證明：f′（x）=

5

(x+2)2

＞0；
∴f（x）在[1，+∞）上為增函數；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f（x）在[1，5]上單調遞增；
∴此時，f（x）的最大值為f（5）=

16

7

，最小值為f（1）=

4

3

．

點評：考察通過解析式的形式及單調性的定義判斷函數單調性的方法，以及利用導數證明函數單調性的方法，以及根據函數單調性求函數的最值．