Question

（2013•濰坊一模）已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2^-x-2，同時滿足以下兩個條件：
①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②?x∈（1，+∞），f（x）•g（x）＜0成立，
則實數a的取值范圍是（　　）

• A．(-4，

  1

  2

  )
• B．(-∞，-4)∪(-

  1

  2

  ，0)
• C．（-4，-2）∪（-

  1

  2

  ，0）
• D．(-4，-2)∪(-

  1

  2

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由①可得當x＜-1時，f（x）＜0，根據②可得當x＞1時，函數f（x）在x軸的上方有圖象，故有

a＜0 -2a≠a+3 3-a 2 ≥1 f( 3-a 2 )＞0 f(-1)≤0

，
由此解得實數a的取值范圍．

解答：解：∵已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2^-x-2，
根據①?x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，
即函數f（x）和函數g（x）不能同時取非負值．
由g（x）＜0，求得x＞-1，即當x＞-1時，g（x）＜0；
當x＜-1時，g（x）＞0．
故當x＜-1時，f（x）＜0．
根據②?x∈（1，+∞），f（x）•g（x）＜0成立，
而當x＞1時，g（x）=2^-x-2＜0，
故f（x）=a（x+2a）（x-a-3）＞0在（1，+∞）上有解，
即當x＞1時，函數f（x）在x軸的上方有圖象，
故函數f（x）和函數g（x）的圖象如圖所示：
綜合以上，故有

a＜0 -2a≠a+3 3-a 2 ≥1 f( 3-a 2 )＞0 f(-1)≤0

，即

a＜0 a≠-1 a≤1 (a+1)2＞0 (2a-1)(a+4)≤0

，解得-4＜a＜-1，或-1＜a＜0，
故選 C．

點評：本題主要考查二次函數的性質，指數函數的圖象和性質，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．