Question

橢圓的離心率為，右準線方程為，左、右焦點分別為F₁，F₂．
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）若直線l：y=kx+t（t＞0）與以F₁F₂為直徑的圓相切，并與橢圓C交于A，B兩點，向量在向量方向上的投影是p，且（O為坐標原點），求m與k的關系式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）情形下，當時，求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先利用離心率條件求出a，c的關系式，再利用右準線方程得到a，c的另一個關系式結合a，b，c的關系即可求得a，b．最后寫出橢圓的方程即可；
（II）先圓心到直線的距離等于半徑可得t和k滿足的關系式，把直線l的方程與橢圓方程聯立求出A、B兩點的坐標，再利用 即可求出m與k的關系式；
（III）用類似于（2）的方法求出m，k之間的關系式，求出弦AB的長，再把△AOB面積整理成關于m的函數；利用函數的單調性求出△AOB面積的取值范圍即可．
解答：解：（Ⅰ）由條件知：．
得，．b=1．
∴橢圓C的方程為：．（3分）
（Ⅱ）依條件有：，即t²=2（1+k²）．（4分）
由得：（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0．△=12（k²-1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，
又t²=2k²+1，∴=
由在方向上的投影是p，得（7分）∴（10分）
（Ⅲ）由弦長公式得．
由，得∴（12分）∴．
又，∴．（14分）
點評：本題是對函數，向量，拋物線以及圓的綜合考查、函數單調性的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．