Question

已知橢圓：

x2

5

+y2=1中，F(xiàn)₁、F₂分科技別為左、右焦點，過F₂作橢圓的弦AB．
（1）求證：

1

|F2A|

+

1

|F2B|

為定值；
（2）求△F₁AB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意a²=5，b²=1，可得F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．若AB斜率存在，設(shè)直線AB：y=k（x-2）與橢圓方程聯(lián)立，進(jìn)而可表示

1

|F2A|

+

1

|F2B|

，化簡可知為定值．當(dāng)AB⊥x軸時，

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=2

5

也成立，從而得證．
（2）設(shè)AB傾斜角為θ，進(jìn)而可得S△F1AB=

4 5 sinθ

cos2θ+5sin2θ

=

4 5 sinθ

1+4sin2θ

．根據(jù)0＜θ＜π，可得sinθ＞0，從而可求△F₁AB面積的最大值．

解答：（1）證明：∵a²=5，b²=1
∴F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
若AB斜率存在，設(shè)直線AB：y=k（x-2）
由

y=k(x-2) x2 5 +y2=1

⇒(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：x1+x2=

20k2

5k2+1

．x1•x2=

5(4k2-1)

5k2+1

∵|F2A|=a-ex=

5

-

2

5

x1，|F2B|=

5

-

2

5

x2
∴

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=

2 5 - 2 5 (x1+x2)

5-2(x1+x2)+ 4 5 x1x2

=2

5

為定值．
當(dāng)AB⊥x軸時，

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=2

5

也成立．
∴

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=定值．
（2）解：設(shè)AB傾斜角為θ
|AB|=|F2A|+|F2B|=2

5

-

2

5

(x1+x2)=

2 5 (1+k2)

5k2+1

=

2 5

cos2θ+5sin2θ

設(shè)F₁到AB距離為d．則d=2•csinθ=4sinθ．
∴S△F1AB=

4 5 sinθ

cos2θ+5sin2θ

=

4 5 sinθ

1+4sin2θ

．
∴0＜θ＜π
∴sinθ＞0
∴S△F1AB=

4 5

1 sinθ +4sinθ

≤

5

．
當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=

1

2

，即θ=30°或150°，△F₁AB面積的最大值為

5

．

點評：本題以橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查面積最值的求解，屬于中檔題．