Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，AP⊥BD.

（1）證明：BC⊥平面PDB，

（2）若AB，PB與平面APD所成角為45°，求點B到平面APC的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）通過證明平面證得，即有，結合，證得平面.

（2）利用等體積法，由列方程，解方程求得點到平面的距離.

（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，BC在平面ABCD內，BD在平面ABCD內，

∴PD⊥BC，PD⊥BD，

又AP⊥BD，AP∩PD=P，且AP，PD均在平面APD內，

∴BD⊥平面APD，

又AD在平面APD內，

∴BD⊥AD，

又底面ABCD為平行四邊形，

∴BC⊥BD，

又PD∩BD=D，且都在平面PBD內，

∴BC⊥平面PDB；

（2）由（1）知，PB與平面APD所成角即為∠BPD，故∠BPD=45°，

又AB，∠DAB=45°，

∴，，

∴AP2+PC2=AC2，即AP⊥CP，

∴，，

又VP﹣ABC=VB﹣PAC，

∴，即，解得，

即點B到平面APC的距離為.