Question

【題目】設，，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)（）.

（1）當時，求在處的切線方程；

（2）設，求的單調(diào)區(qū)間；

（3）當時，恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.

【解析】

（1）當時，先求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求切線方程；

（2）先求函數(shù)的導數(shù)，然后分和討論求函數(shù)的單調(diào)性；（3）首先求函數(shù)的導數(shù)，討論當，由函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的最大值說明恒成立，當時，令，則，分，兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，并判斷函數(shù)的最值，說明的取值范圍.

解：（1）當時，，，

，，

所以在處的切線方程為，即.

（2）.

①當時，，所以當時，；當時，；

②當時，令得，.

ⅰ.若，即時，則恒成立，

所以單調(diào)增區(qū)間為.

ⅱ.若，即時，即或；

即，

所以單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.

ⅲ.若，即時，即或，即，所以單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.

（3）.

①若時，則在時恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以當時，，所以時，恒成立.

②若時，令，則，

ⅰ.當時，即時，，所以單調(diào)遞減，所以，即，

所以單調(diào)遞減，所以當時，恒成立.

ⅱ.當時，令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.

因為在上單調(diào)遞增且，

所以，所以在上，所以，所以單調(diào)遞增，

所以當時，，不滿足條件.

所以a的取值范圍是.