Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：的離心率為，左焦點為F，過原點的直線l交橢圓于M，N兩點，△FMN面積的最大值為1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設P，A，B是橢圓E上異于頂點的三點，Q（m，n）是單位圓x²+y²=1上任一點，使．
①求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；
②求OA²+OB²的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△FMN面積，可得cb=1，再有離心率公式及a²=b²+c²即可得到a，b，c；
（2）①設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把點A，B代入橢圓方程可得③，④，又Q（m，n）是單位圓x²+y²=1上任一點可得m²+n²=1⑤，
由，得到因P在橢圓上，故． 把③④⑤代入上式即可得出x₁，y₁，x₂，y₂，滿足的式子即可證明結論；
②利用①的結論為定值．可得故． 及  又，可得．故可證明OA²+OB²=為定值．
解答：解：（1）由橢圓的離心率為，得①，
又△FMN面積，所以cb=1②，
由①②及a²=b²+c²可解得：a²=2，b²=c²=1，
故橢圓E的方程是． 
（2）①設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則③，④，
又m²+n²=1⑤，
因，故
因P在橢圓上，故．      
整理得．
將③④⑤代入上式，并注意點Q（m，n）的任意性，得：．
所以，為定值．
②，
故．                 
又，故．所以OA²+OB²==3．
點評：本題主要考查橢圓的方程與性質、直線方程、直線與橢圓的位置關系、向量運算、斜率的計算公式、三角形的面積計算公式等基礎知識，需要較強運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數形結合、化歸與轉化思想．