Question

【題目】已知函數 （，為自然對數的底數）.

（1）若曲線在點處的切線垂直于軸，求實數的值；

（2）當時，求函數的最小值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】試題分析：

由題得,，則：

（1）由題意可得，即，；

（2）原問題等價于時，求函數的最小值.

結合導函數的解析式可知函數在區間和區間上單調遞增，在區間上單調遞減.據此分類討論可得：當時，函數的最小值為；當時，函數的最小值為.

試題解析：

由題得,

（1）由曲線在點處的切線垂直于軸，得，

即，

解得

（2）設，

則只需求當時，函數的最小值.

令，解得或，

而，即.

從而函數在區間和區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

當，即時，函數在區間上為減函數，；

當，即時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以函數的極小值即為其在區間上的最小值，.

綜上可知，當時，函數的最小值為；

當時，函數的最小值為.