Question

我國農業科學家在某地區研究玉米植株生長與時間的函數關系，通過觀測、分析，列出了該地區玉米在不同階段的高度數據：

生長階段	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
植株高度（cm）	0.67	0.85	1.28	1.75	2.27	2.75	3.69	4.71	6.36	7.73	9.91
生長階段	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
植株高度（cm）	12.75	16.55	20.1	27.35	32.55	37.55	44.75	53.38	71.61	83.89	97.46
生長階段	23	24	25	26	27	28	29	30	31
植株高度（cm）	112.73	135.12	153.6	160.32	167.05	174.9	177.87	180.19	180.79

（1）畫出函數圖形，近似地寫出一個函數關系式表達兩個變量之間的關系；

（2）利用得出的關系式，與表中實際數據比較；

（3）說出關系式給出的一些信息.

Answer 1

解析：指數函數、對數函數以及冪函數是描述客觀變化規律的重要數學模型，本題通過畫出函數圖形，假設為指數函數，結合圖表，可以清楚地看出，第1到第6個生長階段與實際得到的數據誤差很小，后面的數據誤差較大.

解：（1）畫出函數圖形（如下圖所示），函數的圖形近似于“S”形.

（2）以我們現有的知識很難找出一個函數關系式來近似地表達這個圖形，但我們仔細觀察第1個生長階段至第25個生長階段的函數圖象后會發現，它與我們比較熟悉的指數函數的圖象相像.

    下面我們來考慮給出第1至第25個生長階段的一個指數函數關系式.

    假設指數函數為y=ae^bx，并且通過點（2，0.85）和（23，112.73），把這兩個點的坐標代入函數關系式，解方程組得a=0.534，b=0.233.

    因此，用指數函數近似得到的關系式為

y=f（x）=0.534e^0.233x.

    由得到的關系式計算出各個生長階段的近似值如下表：

生長階段x	1	2		3		4		5		6		7		8		9		10		11		12		13
函數值f(x)	0.67	0.85		1.07		1.36		1.71		2.16		2.73		3.44		4.34		5.48		6.92		8.74		11.03
生長階段x	14		15		16		17		18		19		20		21		22		23		24		25
函數值f(x)	13.93		17.58		22.2		28.02		35.37		44.66		56.37		71.16		89.84		113.41		143.17		180.73

     從表中我們可以清楚地看出，第1到第6個生長階段與實際得到的數據誤差很小，后面的數據誤差較大.

（3）這個指數函數在玉米生長的后幾個階段增長較快，與實際數據中穩定于某一數值附近不符.