Question

在正四面體S-ABC中，E為SA的中點(diǎn)，F(xiàn)為△ABC的中心，則直線EF與平面ABC所成的角的大小為（ ）
A．a(chǎn)rccos
B．45°
C．a(chǎn)rctan
D．a(chǎn)rctan

Answer 1

【答案】分析：要求直線EF與平面ABC所成的角的大小則根據(jù)線面角的定義需過點(diǎn)E向面ABC作垂線而垂足落在哪是關(guān)鍵，由于正四面體S-ABC中，E為SA的中點(diǎn)故可根據(jù)正四面體的對稱性可連接SF，則SF⊥平面ABC且取線段AF的中點(diǎn)G，連接EG則根據(jù)中位線定理可得EG∥SF即EG⊥平面ABC則點(diǎn)G即為點(diǎn)E在面ABC上的垂足故∠EFG即為EF與平面ABC所成的角然后再通過解RT△EGF求出∠EFG即可．
解答：解析：連接SF，則SF⊥平面ABC．連接AF并延長交BC于H，取線段AF的中點(diǎn)G，連接EG，由E為SA的中點(diǎn)，則EG∥SF，
∴EG⊥平面ABC，
∴∠EFG即為EF與平面ABC所成的角．
設(shè)正四面體的邊長為a，則AH=a，且AF=AH=a；
在Rt△AGE中，AE=，AG=AF=a，∠EGA=90°，
∴EG==a．
在Rt△EGF中，F(xiàn)G=AF=a，EG=a，∠EGF=90°，
∴tan∠EFG==，
∴∠EFG=arctan，即EF與平面ABC所成的角為arctan，
故選C．
點(diǎn)評：本題主要考察了線面角的求解，屬常考題，較難．解題的關(guān)鍵是利用線面角的定義做出線面角但再作線面角時(shí)過點(diǎn)E向面ABC作垂線而垂足在哪成為解決問題的關(guān)鍵這需利用正四面體的對稱性和中位線定理來過渡！