Question

【題目】已知函數，．

（1）若在區間上不單調，求的取值范圍；

（2）設，若函數在區間恒有意義，求實數的取值范圍；

（3）已知方程在有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據的對稱軸在區間內列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（2）先求得表達式，將函數在區間恒有意義，轉化為“對于任意的實數，不等式恒成立”，對分成兩種情況進行分類討論，由此求得的取值范圍.

（3）構造函數，將寫出分段函數的形式，對分成兩種情況進行分類討論，結合在有兩個不相等的實數根，求得實數的取值范圍.

（1）因為在區間上不單調，則，解得

即的取值范圍；

（2）

函數在區間恒有意義，

等價于對于任意的實數，不等式恒成立，（*）

當時，，此時，與（*）式矛盾，不合題意

當時，由可知，，，所以恒成立，即（*）成立

又在區間上實數必須滿足

綜上，所求實數的取值范圍為；

（3）令

方程在有兩個不相等的實數根

等價于函數在區間上存在兩個零點

因為且在處圖象不間斷

當時，無零點；

當時，由于在單調，∴在內至多只有一個零點，不妨設的兩個零點為，并且

若有一個零點為0，則，于是，零點為或，所以滿足題意

若0不是函數零點，則函數在區間上存在兩個零點有以下兩種情形：

①若，，

則.

②若，

則．

綜合①②得，實數的取值范圍是.