Question

【題目】，.

（1）若在是增函數，求實數a的范圍；

（2）若在上最小值為3，求實數a的值；

（3）若在時恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先求導得到，根據在上是增函數，轉化為在上恒成立，即在上恒成立求解，

（2）由（1）知，結合，分，，三種情況討論求解；

（3）將在時恒成立，轉化為在時恒成立，令，用導數法求其最小值即可.

（1）∵，∴.

∵在上是增函數，∴在上恒成立，即在上恒成立.

令，則，.

∵在上是增函數，∴，∴.

所以實數a的取值范圍為；

（2）由（1）得，.

①若，即，則，即在上恒成立，

此時在上是增函數，所以，解得（舍去）；

②若，即，令，得.

當時，，所以在上是減函數，

當時，，所以在上是增函數.

所以，解得（舍去）；

③當時，在上恒成立，

∴在區間為減函數，∴，解得.

綜上可得，；

（3）因為，在時恒成立，所以，在時恒成立，

即，在時恒成立，

令，所以，

設，所以在時恒成立，

所以在上是增函數，即在上是增函數，

所以，所以在上是增函數，所以，

所以，解得，所以的取值范圍.