Question

(本小題滿分16分)設數列{a_n}滿足：a₁＝1，a₂＝2，a_n＋2＝(n≥1，n∈N^*)．
(1) 求證：數列是常數列；
(2) 求證：當n≥2時，2＜a－a≤3；
(3) 求a_{2 011}的整數部分.

Answer 1

(1) 易知，對一切n≥1，a_n≠0，由a_n＋2＝，得＝.
依次利用上述關系式，可得
＝＝＝…＝＝＝1，
從而數列是常數列．(4分)
(2) 由(1)得a_n＋1＝a_n＋.
又a₁＝1，∴可知數列{a_n}遞增，則對一切n≥1，有a_n≥1成立，從而0＜≤1.(6分)
當n≥2時，a＝²＝a＋＋2，
于是a－a＝＋2，
∴2＜a－a≤3.(8分)
(3) 當n≥2時，a＝a＋＋2，
∴a＝＋…＋＋a＋2(n－1)．
a＝1，a＝4，則當n≥3時，
a＝＋…＋＋a＋2(n－1)
＝＋…＋＋1＋1＋2(n－1)
＝＋…＋＋2n＞2n.
a＝＋…＋＋2(2 011－1)＋1＞4 021
＞3 969＝63²，(10分)
a＝＋…＋＋2(2 011－1)＋1
＝4 021＋＋…＋
＜4 020＋＋＋＋…＋
＝4 022＋
＝4 022＋
]
＜4 022＋
]
＝4 022＋
＜4 022＋(19＋4＋10)＜4 039＜4 096＝64².(14分)
∴63＜a_{2 011}＜64，即a_{2 011}的整數部分為63.(16分)

略