Question

如圖，四棱錐中，側面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點.

(Ⅰ)求與底面所成角的大小；
(Ⅱ)求證：平面；(Ⅲ)求二面角的余弦值.

Answer 1

(Ⅰ) 45°； (Ⅱ)參考解析； (Ⅲ) －

試題分析：（Ⅰ) 由于平面PDC垂直于平面AC，并且三角形PDC是等邊三角形.所以通過做DC邊上的高PO.即可得直線與底面所成角為∠PAO.通過底面AC是菱形可求得AO，所以通過解直角三角形PAO即可求得∠PAO 的大小.即為結論.
(Ⅱ) 通過建立空間坐標系，寫出相關點A,P,D,B,C,M的坐標.計算出向量PA,向量DM,向量DC.通過向量PA與向量DM的數量積為0可得這兩條直線垂直.同理可以證明PA垂直于DC.從而可得直線PA垂直于平面CDM.即通過向量知識證得線面垂直.
(Ⅲ)求二面角的余弦值通過求出平面DCM和平面BCM的法向量.再求兩法向量的夾角的余弦值的絕對值，再根據圖形判斷正負即可.
試題解析：(I)取DC的中點O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．
又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．連結OA，則OA是PA在底面上的射影．
∴∠PAO就是PA與底面所成角．∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，從而求得OA=OP=．∴∠PAO=45°．∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°．
(II)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．建立空間直角坐標系如圖，則, ．
由M為PB中點，
∴．∴
．∴，
．
∴PA⊥DM，PA⊥DC．  ∴PA⊥平面DMC．
(III)．令平面BMC的法向量，
則，從而x+z=0； ……①, ，從而． ……②
由①、②，取x=?1，則．  ∴可取．
由(II)知平面CDM的法向量可取，
∴．∴所求二面角的余弦值為－．…13分