Question

已知函數(shù)滿足，，；且使成立的實數(shù)只有一個。
（Ⅰ）求函數(shù)的表達式；
（Ⅱ）若數(shù)列滿足，，，，證明數(shù)列 是等比數(shù)列，并求出的通項公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，證明：，

Answer 1

（I）
（II）見解析通項公式為
（Ⅲ）見解析

（Ⅰ）由，，，得.………1分
由，得.……………………………………………………………2分
由只有一解，即，也就是只有一解，
∴
∴.…………………………………………………………………………………3分
∴.故.……………………………………………………………4分
（Ⅱ）∵，，∴…………………………  5分
∴……………………………………………………………6分

∴是以=為首項，為公比的等比數(shù)列
∴有             ………………………8分
∵，∴
∴是首項為，公比為的等比數(shù)列，其通項公式為.……………10分
（Ⅲ）∵，
∴…………………………12分
.……………………………15分