Question

【題目】在全球關注的抗擊“新冠肺炎”中，某跨國科研中心的一個團隊，研制了甲、乙兩種治療“新冠肺炎”新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗，試驗方案如下：

第一種：選取共10只患病白鼠，服用甲藥后某項指標分別為：；

第二種：選取共10只患病白鼠，服用乙藥后某項指標分別為：；

該團隊判定患病白鼠服藥后這項指標不低于85的確認為藥物有效，否則確認為藥物無效.

（1）已知第一種試驗方案的10個數據的平均數為89，求這組數據的方差；

（2）現需要從已服用乙藥的10只白鼠中隨機抽取7只，記其中服藥有效的只數為，求的分布列與期望；

（3）該團隊的另一實驗室有1000只白鼠，其中900只為正常白鼠，100只為患病白鼠，每用新研制的甲藥給所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有變為正常白鼠，但正常白鼠仍有變為患病白鼠，假設實驗室的所有白鼠都活著且數量不變，且記服用次甲藥后此實驗室正常白鼠的只數為.

（i）求并寫出與的關系式；

（ii）要使服用甲藥兩次后，該實驗室正常白鼠至少有950只，求最大的正整數的值.

Answer 1

【答案】（1）6.2（2）見解析，（3），（i）（ii）

【解析】

（1）利用題設數據及方差的定義求解即可；

（2）利用超幾何概型的概率公式計算概率，列分布列，即得解.

（3）（i）依題設知，即得解；

（ii），代入，構造函數即得解.

（1）方差

（2）在第二種試驗中服藥有效的白鼠有4只，服藥無效的白鼠有6只，

故的可能取值為1，2，3，4

，，

，，

因此的分布列為

	1	2	3	4

（3）（ⅰ）

依題設知，

即

（ⅱ），

由可得

記函數，其中，

則函數在上單調遞減，

且，

故最大的正整數