Question

（本題滿分13分）設橢圓：的離心率，右焦點到直線的距離，為坐標原點

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點，以為直徑的圓過原點，求到直線的距離

 

Answer 1

（1），（2）

【解析】

試題分析：：（1）求橢圓的方程，用待定系數法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程.第二步：聯立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數的關系.第五步：根據題設條件求解問題中結論.

試題解析：（1），右焦點到直線的距離，

則，且，所以，

所以橢圓的的方程是：

（2）設直線：，那么：，

則，

又因為直線與橢圓交于兩點，以為直徑的圓過原點，

，

，化簡得，即

所以到直線的距離為.

考點：（1）求橢圓的標準方程;（2）直線與橢圓相交的綜合問題.