Question

【題目】已知在梯形中， 平面，且，點(diǎn)在上，且.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）連接交于點(diǎn)，利用平幾知識(shí)可得,再根據(jù)相似比得.最后根據(jù)線面平行判定定理得平面.（2）求二面角大小,一般利用空間向量數(shù)量積:先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),列方程組求各平面法向量,利用向量數(shù)量積求兩法向量夾角,最后根據(jù)二面角與法向量夾角關(guān)系求二面角.

試題解析：解： （Ⅰ）連接交于點(diǎn)，連接,如圖①所示.

∵，∴.

∵,∴，

∴.

∵平面平面，

∴平面.

（Ⅱ）設(shè)∵且平面，故以為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，

所在直線為軸， 所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖②所示，則

.

由，得，得.

解得，即,

.

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

令，則，即.

取的中點(diǎn)，記為，連接，

易求得的坐標(biāo)為，

∴ .

由,得，

由底面，得，

又，∴平面.

∴是平面的一個(gè)法向量.

∴.

由圖可知二面角為銳二面角，

∴二面角的余弦值為.