Question

已知點A、B的距離為2，以B為圓心作半徑為22的圓，P為圓上一點，線段AP的垂直平分線l與直線PB交于點M，當P在圓周上運動時點M的軌跡記為曲線C．

（1）建立適當的坐標系，求曲線C的方程，并說明它是什么樣的曲線；

（2）試判斷l與曲線C的位置關系，并加以證明．

Answer 1

解：（1）以AB中點為原點，直線AB所在直線為x軸建立直角坐標系，則A（－1,0），B（1,0） .

設M（x,y）,由題意：|MP|=|MA|,|BP|=，所以|MB|+|MA|=.

故曲線C是以A、B為焦點，長軸長為的橢圓，

其方程為x²+2y²=2.

（2）直線l與曲線C的位置關系是相切.證明如下:

由（1）知曲線C方程為x²+2y²=2，設P(m,n)，則P在⊙B上，

故(m-1)²+n²=8，即m²+n²=7+2m .

當P、A、B共線時，直線l的方程為x=±，顯然結論成立.

當P、A、B不共線時，直線l的方程為y-，

整理得，y=－.

(x-)＋＝.

把直線l的方程代入曲線C方程得x²+2（）²＝2.

整理得，[n²+2(m+1)2]x²-4(m+1)·(m+3)x+2(m+3)²-2n²=0.

判別式Δ＝[4(m+1)(m+3)]²-4[n²+2(m+1)²] [2(m+3)²-2n²]= -8n²·[(m+3)²-n²-2(m+1)2]

=-8n²[-m²-n²+2m+7]=0,

∴直線l與曲線C相切.

另證：在直線l上任取一點M′，連結M′A、M′B、MA，

由垂直平分線的性質得|M′A|=|M′P|，

∴|M′A|+|M′B|＝|M′P|+|M′B|≥｜PB｜＝（當且僅當M、M′重合時取”=”）.

∴直線l與橢圓C有且僅有一個公共點M.

結論得證.