Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣（m﹣1）x+2m
（1）若函數(shù)f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)有零點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立x2﹣（m﹣1）x+2m＞0在（0，+∞）上恒成立，

m（x﹣2）＜x2+x在（0，+∞）上恒成立，

①當x=2時，m∈R，

②x＞2時，m＜ ，∵ ≥2 +5，∵m＜2 +5；

③0＜x＜2時，m＞ ，∵（x﹣2）+ =﹣[（2﹣x）+ ]＜﹣5，

＜0，∴m≥0 +5

綜上可知，m的取值范圍：0≤m＜2 +5

（2）解：函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)有零點，m（x﹣2）=x2+x在（0，1）上有解，m= 在（0，1）上有解．

令2﹣x=t，t∈（1，2），函數(shù)g（t）=t+ ，t∈（1，2）時單調(diào)遞減，g（t）=∈（5，7）

x∈（0，1）， ∈（﹣2，0）．

故m的取值范圍：（﹣2，0）

【解析】（1）函數(shù)f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立m（x﹣2）＜x2+x在（0，+∞）上恒成立，按x=2，x＞2時，0＜x＜2分類求解；（2）函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)有零點，m（x﹣2）=x2+x在（0，1）上有解，m= ，在（0，1）上有解．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．