Question

（13分）已知函數.
（1）討論函數的單調性；
（2）若曲線上兩點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，求實數a的取值范圍.

Answer 1

（1）若，則，所以在區間上是增函數；
若，則，所以在區間上是減函數；
若，則，所以在區間上是增函數；
（2）實數a的取值范圍是[-1,0)∪[3，4].

解：由題設知.
令.
當（i）a>0時，
若，則，所以在區間上是增函數；
若，則，所以在區間上是減函數；
若，則，所以在區間上是增函數；
（i i）當a＜0時，
若，則，所以在區間上是減函數；
若，則，所以在區間上是增函數；
若，則，所以在區間上是減函數.
（２）由（Ⅰ）的討論及題設知，曲線上的兩點A、B的縱坐標為函數的極值，且函數在處分別是取得極值，.
因為線段AB與x軸有公共點，所以.
即.所以.
故a.
解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.
即所求實數a的取值范圍是[-1,0)∪[3，4].