Question

某市環保部門通過研究多年來該地區的大氣污染狀況后，建立了一個預測該市一天中的大氣污染指標f（t）與時間t（單位：小時）之間的關系的函數模型：，其中，代表大氣中某類隨時間t變化的典型污染物質的含量；參數a代表某個已測定的環境氣象指標，且．
（1）求g（t）的值域；
（2）求f（t）的最大值M（a）的表達式；
（3）若該市政府要求每天的大氣環境綜合指數不得超過2.0，試問：若按給定的函數模型預測，該市目前的大氣環境綜合指數是否會超標？請說明理由．

Answer 1

解：（1）因為0≤t≤24，
得到|t-18|∈[，]，
根據正弦函數的性質得到g（t）的值域為[0，]；
（2）由（1）可知g（t）的值域為[0]，f（t）的最大值M（a），
當a∈[0，]時，M（a）=|+-a|+2a=a+；
當a∈（，]時，M（a）=|-a|+2a=3a-．
則有M（a）=；
（3）當時，M（a）=≤+=＜2；
當時，M（a）=≤．
所以若按給定的函數模型預測，該市目前的大氣環境綜合指數不會超標．
分析：（1）先根據t的范圍求出|t-18|的范圍，進而求出|t-18|的范圍，然后結合三角函數的性質求出g（t）的值域；
（2）由題意先求出f（t）的解析式，然后在區間[0，]和（，]上討論絕對值的取值得到M（a）的解析式為分段函數；
（3）利用（2）的結論，分時和時分別討論M（a）的最值與2的關系即可．
點評：本題考查利用函數知識解決應用題的有關知識．新高考中的重要的理念就是把數學知識運用到實際生活中，如何建模是解決這類問題的關鍵．同時要熟練地利用導數的知識解決函數的求最值問題．