Question

【題目】已知橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為，左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為.過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于第一象限的點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)；

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若的面積為，求直線的方程；

（3）證明：點(diǎn)在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，即可由此即可求出橢圓的方程；

（2）分直線MN的斜率存在和不存在兩種情況，利用韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng)，然后再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出高的長(zhǎng)度，再根據(jù)的面積為，即可求出結(jié)果；

（3）設(shè)：，與橢圓聯(lián)立，可得，設(shè)：，同理可得 ，可得的方程為：，又直線方程過(guò)，將代入直線方程，由此可得，因?yàn)?/span>與交于點(diǎn)，所以可得，由此即可求出結(jié)果.

（1），解得：；

所以橢圓方程為：.

（2）設(shè)，①當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)：設(shè)MN方程為，聯(lián)立得：，

，；

；

到MN直線的距離為，

；

當(dāng)時(shí)，MN直線方程過(guò)直線MN與橢圓的交點(diǎn)不在第一象限（舍）；

所以MN方程為.

②當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，（舍）.

綜上：直線MN方程為：

（3）設(shè)：，與橢圓聯(lián)立：，

同理設(shè)：，可得

所以的方程為：以及方程過(guò)，將坐標(biāo)代入可得：， .

又因?yàn)?/span>與交于P點(diǎn)，即，，將代入得，所以點(diǎn)P在定直線上 .