Question

已知{a_n}是由非負整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值記為A_n，第n項之后各項，…的最小值記為B_n，d_n=A_n－B_n.

(I)若{a_n}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個周期為4的數列(即對任意n∈N^*，)，寫出d₁，d₂，d₃，d₄的值；

(II)設d為非負整數，證明：d_n=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{a_n}為公差為d的等差數列；

(III)證明：若a₁=2，d_n=1(n=1,2,3…)，則{a_n}的項只能是1或2，且有無窮多項為1.

 

Answer 1

【答案】

(I) ，. (II)見解析 (III)見解析

【解析】充分利用題目所給信息進行反復推理論證.要證明充要條件，需要充分性和必要性兩個方面敘述.

(I) ，.

(II) 充分性：因為是公差為的等差數列，且，所以，

因此，.

必要性：因為，所以.

又因為，所以.

于是.

因此， ，即是公差為的等差數列.

(III)因為a₁=2，d_n=1，所以，，

故對任意，.

假設，中存在大于2的項，

設m為滿足的的最小正整數，

則，并且對任意，

又因為a₁=2，所以，且.

于是.

故，與矛盾.

所以對于任意，都有，即非負整數數列的各項只能為1或2,.

因為對任意，，

所以.

故

因此，對于任意正整數，存在滿足，且，即數列{a_n}有無窮多項為1.

【考點定位】本題考查了數列的周期性，等差數列.考查了推理論證能力和數據處理能力.試題難度較大，解答此題，需要非常強的分析問題和解決問題的能力.本題是一個信息題，考查了學生對知識的遷移能力.