Question

已知非零向量

a

、

b

滿足|

a

|=

3

|

b

|，若函數(shù)f(x)=

1

3

x3+|

a

|x2+2

a

•

b

x+1在R上有極值，則＜a，b＞的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：本題可以先利用向量的數(shù)量積求出函數(shù)f（x）的解析式，即：f(x)=

1

3

x3+

3

 |

b

|  x2+2

3

|

b

|2cos＜

a

，

b

＞x+1，然后利用極值存在，轉(zhuǎn)化為開口向上的二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，利用判別式△＞0可解得．

解答：解：由已知，f(x)=

1

3

x3+|

a

|x2+2|

a

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞x+1，
即f(x)=

1

3

x3+

3

 |

b

|  x2+2

3

|

b

|2cos＜

a

，

b

＞x+1，
所以f′(x)=x2+2

3

|

b

|x+2

3

|

b

|2cos＜

a

，

b

＞
要使函數(shù) f(x)=

1

3

x3+|

a

|x2+2

a

•

b

x+1在R上有極值，注意到f′（x）為開口向上的二次函數(shù)，所以必須且只需其判別式△＞0，
即有：△=12|

b

|2-4×2

3

|

b

|2cos＜

a

，

b

＞＞0，即有：cos＜

a

，

b

＞ ＜

3

2

成立，得

π

6

＜＜

a

，

b

＞≤ π．
故答案為：(

π

6

，π]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量與函數(shù)的綜合知識(shí)，考查向量的數(shù)量積以及求向量的夾角，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究極值，考查函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上的條件．