Question

已知P是雙曲線的右支上一點，A₁，A₂分別為雙曲線的左、右頂點，F₁，F₂分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線的離心率為e，有下列命題：①雙曲線的一條準線被它的兩條漸近線所截得的線段長度為；
②若|PF₁|=e|PF₂|，則e的最大值為；③△PF₁F₂的內切圓的圓心橫坐標為a；④若直線PF₁的斜率為k，則e²-k²＞1，其中正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：求出準線被它的兩條漸近線所截得的線段的端點的縱坐標，即可得到此準線被它的兩條漸近線所截得的線段
長度為，故①正確．
由雙曲線的定義可得 2a+|PF₂|=e|PF₂|，根據|PF₂|=≥c-a，求得1＜≤1+，故②不正確．
由雙曲線的定義及圓的切線性質可得|KF₁|=a+c，故△PF₁F₂的內切圓的圓心橫坐標為a，故③正確．
由題意可得k＜，故e²-k²＞1，故④正確．
解答：解：對于①，一準線方程為x=，它的兩條漸近線方程為 y=±x，
故準線被它的兩條漸近線所截得的線段的端點的縱坐標分別為 =±，
故此線段的長度為，故①正確．
對于②，若|PF₁|=e|PF₂|，則由雙曲線的定義可得 2a+|PF₂|=e|PF₂|，e＞1．
∴|PF₂|==≥c-a，∴e²-2e-1≤0，
∴1-≤≤1+，故有 1＜e≤1+，即離心率的最大值為1+，故②不正確．
對于③，設△PF₁F₂的內切圓與PF₁和PF₂的切點分別為M，N，與x軸的切點為K，
由雙曲線的定義及圓的切線性質可得|MF₁|-|NF₂|=2a=|KF₁|-|KF₂|，
又|KF₁|+|KF₂|=2c，∴|KF₁|=a+c，故K為雙曲線的右頂點，又△PF₁F₂的內切圓的圓心
在切點K 的正上方，故△PF₁F₂的內切圓的圓心橫坐標為a，故③正確．
對于④若直線PF₁的斜率為k，則由題意可得k＜，∴k²＜，∴e²-k²＞1，故④正確．
故答案為：①③④．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，熟練掌握雙曲線的性質，是解題的關鍵．