Question

如圖，已知圓C：x²+y²=2與x軸交于A₁、A₂兩點，橢圓E以線段A₁A₂為長軸，離心率e=

2

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．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）設橢圓E的左焦點為F，點P為圓C上異于A₁、A₂的動點，過原點O作直線PF的垂線交直線x=-2于點Q，判斷直線PQ與圓C的位置關系，并給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接求出a再利用離心率e=

2

2

求出c即可求出橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）先設出點P的坐標，利用條件求出點Q的坐標，再求出k_OP和k_PQ的表達式，利用點P在圓上，可以得直線PQ與圓C保持相切．

解答：解：（Ⅰ）因為a=

2

，e=

2

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，所以c=1（2分）
則b=1，即橢圓E的標準方程為

x2

2

+y2=1（4分）
（Ⅱ）當點P在圓C上運動時，直線PQ與圓C保持相切（6分）
證明：設P（x₀，y₀）（x0≠±

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），則y₀²=2-x₀²，
所以kPF=

y0

x0+1

，kOQ=-

x0+1

y0

，
所以直線OQ的方程為y=-

x0+1

y0

x（9分）
所以點Q（-2，

2x0+2

y0

）（11分）
所以kPQ=

y0- 2x0+2 y0

x0+2

=

y02-(2x0+2)

(x0+2)y0

=

-x02-2x0

(x0+2)y0

=-

x0

y0

（13分）
又kOP=

y0

x0

，所以k_OP⊥k_PQ=-1，
即OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓C相切（14分）

點評：本題是對圓和橢圓的綜合考查．在做這一類型題目時，一定要畫出圖象，利用圖象來分析問題．