Question

已知函數f（x）=x+1，設g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x））（n＞1，n∈N^*）
（1）求g₂（x），g₃（x）的表達式，并猜想g_n（x）（n∈N^*）的表達式（直接寫出猜想結果）
（2）若關于x的函數在區間（-∞，-1]上的最小值為6，求n的值．
（符號“”表示求和，例如：．）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x）），令n=2，3，即可求得求g₂（x），g₃（x）的表達式，并猜想g_n（x）（n∈N^*）的表達式；
（2）根據（1）的結果代入求出，轉化為二次函數利用配方法求最值，討論對稱軸是否在定義域內．
解答：解：（1）∵g₁（x）=f（x）=x+1，
∴g₂（x）=f（g₁（x））=f（x+1）=（x+1）+1=x+2，
g₃（x）=f（g₂（x））=f（x+2）=（x+2）+1=x+3，
∴猜想g_n（x）=x+n
（2）∵g_n（x）=x+n，
∴
∴
1°當，即n≤2時，函數在區間（-∞，-1]上是減函數∴當x=-1時，，即n²-n-10=0，該方程沒有整數解
2°當，即n＞2時，，解得n=4，
綜上所述，n=4
點評：此題是個中檔題．考查代入法求函數的解析式、歸納法、和二次函數求最值的配方法等基本方法，體現了分類討論的思想．很好的考查了學生的閱讀能力和靈活應用知識分析解決問題的能力．