Question

【題目】設定義在R上的函數，當時，取極大值，且函數的圖象關于原點對稱．

（1）求的表達式；

（2）試在函數的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在上；

（3）設，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或者，；（3）詳見解析.

【解析】

（1）由奇偶性易得，由極值定義得，求出，，即可求的表達式；（2）求導數，利用，即可得出結論；（3）分別求出、的范圍，即可證明結論．

（1）因為函數的圖象關于原點對稱，

所以函數是奇函數，即恒成立，

所以，，

由題意得，所以，

所以，經驗證滿足題意，所以．

（2），

設所求兩點為，，其中，

得，

因為，所以，或，

即x1，x2為0，或，0

從而所求兩點的坐標分別為，或者，．

（3）易知，

當時，，即在上遞減，

得，即，

又，函數在處取極大值，

又，，，得，

所以．