Question

（文）一個函數f（x），如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在f（x）的定義域內，就有f（a），f（b），f（c）也是某個三角形的三邊長，則稱f（x）為“三角形函數”．
（1）判斷f₁（x）=

x

，f₂（x）=x，f₃（x）=x²中，哪些是“三角形函數”，哪些不是，并說明理由；
（2）如果g（x）是定義在R上的周期函數，且值域為（0，+∞），證明g（x）不是“三角形函數”；
（3）若函數F（x）=sinx，x∈（0，A），當A＞

5π

6

時，F（x）不是“三角形函數”．

Answer 1

分析：（1）任給三角形，設它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設a≤c，b≤c，我們判斷f（a），f（b），f（c）是否滿足任意兩數之和大于第三個數，即任意兩邊之和大于第三邊；
（2）要想一個函數不是“三角形函數”關鍵是根據題中條件g（x）是定義在R上的周期函數，且值域為（0，+∞），舉出反例；
（3）當 A＞

5π

6

，取

π

2

，

5π

6

，

5π

6

∈(0，A)，顯然這三個數可作為一個三角形的三邊長，但 sin

π

2

=1，sin

5π

6

=

1

2

，sin

5π

6

=

1

2

不能作為任何一個三角形的三邊長，最后給出結論．

解答：解：（1）f₁（x），f₂（x）是“三角形函數”，f₃（x）不是“三角形函數”．
任給三角形，設它的三邊長分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設a≤c，b≤c，
由于

a

+

b

＞

a+b

＞

c

＞0，所以f₁（x），f₂（x）是“保三角形函數”．
對于f₃（x），3，3，5可作為一個三角形的三邊長，但3²+3²＜5²，
所以不存在三角形以3²，3²，5²為三邊長，故f₃（x）不是“保三角形函數”．
（2）設T＞0為g（x）的一個周期，由于其值域為（0，+∞），
所以，存在n＞m＞0，使得g（m）=1，g（n）=2，
取正整數 λ＞

n-m

T

，可知λT+m，λT+m，n這三個數可作為一個三角形的三邊長，
但g（λT+m）=1，g（λT+m）=1，g（n）=2不能作為任何一個三角形的三邊長．
故g（x）不是“三角形函數”．
（3）當 A＞

5π

6

，
取

π

2

，

5π

6

，

5π

6

∈(0，A)，顯然這三個數可作為一個三角形的三邊長，
但 sin

π

2

=1，sin

5π

6

=

1

2

，sin

5π

6

=

1

2

不能作為任何一個三角形的三邊長，
故F（x）不是“三角形函數”．

點評：本小題主要考查進行簡單的合情推理、三角函數的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．要想判斷f（x）為“三角形函數”，要經過嚴密的論證說明f（x）滿足“三角形函數”的概念，但要判斷f（x）不為“三角形函數”，僅須要舉出一個反例即可．