Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，設數列{a_n}的前n項和S_n=f（n）．
（I）求函數f（x）的表達式；
（II）設各項均不為0的數列{b_n}中，所有滿足b_i•b_i+1＜0的整數i的個數稱為這個數列{b_n}的變號數，令bn=1-

a

an

（n∈N^*），求數列{b_n}的變號數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知a=0或a=4．再結合題設條件可知a=4，即f（x）=x²-4x+4．
（Ⅱ）結合題設條件由數列的性質知an=

1，(n=1) 2n-5．(n≥2)

，由題設可得bn=

-3，(n=1) 1- 4 2n-5 ．(n≥2)

，由此入手能夠求出
數列{b_n}的變號數．

解答：解：（Ⅰ）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素
∴△=a²-4a=0解得a=0或a=4
當a=0時函數f（x）=x²在（0，+∞）遞增，不滿足條件②
當a=4時函數f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，滿足條件②
綜上得a=4，即f（x）=x²-4x+4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=n²-4n+4=（n-2）²
當n=1時，a₁=S₁=1
當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5
∴an=

1，(n=1) 2n-5．(n≥2)

由題設可得bn=

-3，(n=1) 1- 4 2n-5 ．(n≥2)

∵b₁=-3＜0，b₂=1+4=5＞0，b₃=-3＜0，
∴i=1，i=2都滿足b_i•b_i+1＜0
∵當n≥3時，bn+1-bn=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

＞0
即當n≥3時，數列{b_n}遞增，
∵b4=-

1

3

＜0，由1-

4

2n-5

＞0?n≥5，
可知i=4滿足b_i•b_i+1＜0
∴數列{b_n}的變號數為3．

點評：本題考查數列的性質，解題時要認真審題，仔細解答，避免不必分的錯誤．