Question

拋物線y²=4x上有兩個定點A、B分別在對稱軸的上、下兩側，F為拋物線的焦點，并且|FA|=2，|FB|=5，在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△PAB的面積最大，并求這個最大面積．

Answer 1

分析：由已知得F（1，0），點A在x軸上方，設A（x₁，y₁），y₁＞0，由|FA|=2得A（1，2），同理B（4，-4），所以直線AB的方程為2x+y-4=0．設在拋物線AOB這段曲線上任一點P（x₀，y₀），且0≤x₀≤4，-4≤y₀≤2，由點到直線距離公式能求出△PAB的面積最大值和此時P點坐標．

解答：解：由已知得F（1，0），點A在x軸上方，
設A（x₁，y₁），y₁＞0，
由|FA|=2，
得x₁+1=2，x₁=1，
所以A（1，2），
同理B（4，-4），
所以直線AB的方程為2x+y-4=0．
設在拋物線AOB這段曲線上任一點P（x₀，y₀），
且0≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
則點P到直線AB的距離d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y02 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0 +1)2- 9 2 |

5

，
所以當y₀=-1時，d取最大值

9 5

10

，
又|AB|=3

5

，
所以△PAB的面積最大值為S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=

27

4

．
此時P點坐標為（

1

4

，-1）．

點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．解題時要認真審題，注意點到直線距離公式的合理運用．