Question

（極坐標與參數方程）
已知直線l經過點P（2，1），傾斜角α=

π

4

，
（Ⅰ）寫出直線l的參數方程；
（Ⅱ）設直線l與圓O：ρ=2相交于兩點A，B，求線段AB的長度．

Answer 1

分析：（1）設直線l上任意一點為Q（x，y），根據直線的斜率公式與同角三角函數的商數關系，引入參數t可得y-1=

2

2

t且x-2=

2

2

t，由此即可得到直線l的參數方程；
（2）將圓O化為直角坐標下的標準方程得x²+y²=4，將l的參數方程代入，化簡整理得t2+3

2

t+1=0．再利用一元二次方程根與系數的關系和兩點間的距離公式加以計算，可得求線段AB的長度．

解答：解：（1）設直線l上任意一點為Q（x，y），
∵直線l經過點P（2，1），傾斜角α=

π

4

，∴PQ的斜率k=

y-1

x-2

=tan

π

4

=

sin π 4

cos π 4

，
因此，設y-1=tsin

π

4

=

2

2

t，x-2=tcos

π

4

=

2

2

t，
可得直線l的參數方程為

x=2+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t為參數）． 
（2）圓O的方程為ρ=2，平方得ρ²=4，即x²+y²=4，
將直線l的參數方程

x=2+ 2 2 t y=1+ 2 2 t

代入x²+y²=4，整理得t2+3

2

t+1=0．
設A（2+

2

2

t₁，1+

2

2

t₁），B（2+

2

2

t₂，1+

2

2

t₂），
∴t1+t2=-3

2

，t₁t₂=1，
可得線段AB長為：
|AB|=

1 2 (t1-t2)2+ 1 2 (t1 -t22)

=

(t1-t2)2

=

(t1+t2)2-4t1t2

=

14

．

點評：本題將直線l的方程化成參數方程，并求直線被圓截得的弦長．著重考查了參數方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．