Question

已知函數(shù)f（x）=x²－4，設(shè)曲線y＝f（x）在點(diǎn)（x_n，f（x_n））處的切線與x軸的交點(diǎn)為（x_n+1,0）（n），其中為正實(shí)數(shù).  

 （Ⅰ）用表示x_n+1；

（Ⅱ）若a₁=4，記a_n=lg，證明數(shù)列｛｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛x_n｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）若x₁＝4，b_n＝x_n－2，T_n是數(shù)列｛b_n｝的前n項(xiàng)和，證明T_n<3.

Answer 1

（1）（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

解析:

（Ⅰ）由題可得．

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是：．

即．令，得．

即．顯然，∴．

（Ⅱ）由，知，同理．

　　　故．從而，即．

所以，數(shù)列成等比數(shù)列．

故．即．從而所以

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，∴   

 ∴    當(dāng)時(shí)，顯然．

當(dāng)時(shí)，

∴．

綜上，．