Question

已知點是F拋物線C與橢圓C的公共焦點，且橢圓的離心率為
（1）求橢圓的方程；
（2）過拋物線上一點P，作拋物線的切線l，切點P在第一象限，如圖，設切線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，記直線OP，FA，FB的斜率分別為k，k₁，k₂（其中O為坐標原點），若k，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線與橢圓有公共焦點，且橢圓的離心率為，建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）設出切線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理及斜率公式，即可求得結論．
解答：解：（1）∵點F的坐標為（0，1），則有
∴a=2，b=
∴橢圓方程為；
（2）設P（2t，t²），由，得切線的斜率為t，從而切線l的方程為y=tx-t²，
直線l與橢圓方程聯立，得（3t²+4）x²-6t³x+3t⁴-12=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
∴k₁+k₂=+=
∵=
∴
∵t＞0，∴5t⁴+3t²-8=0
∴t²=1
∴t=1
∴P的坐標為（2，1）．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．