Question

（本小題滿分14分）

已知橢圓（a>b>0）的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標為（-a，0）.

      （i）若，求直線l的傾斜角；

      （ii）若點Q在線段AB的垂直平分線上，且.求的值.

Answer 1

【解析】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、兩點間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質及數形結合的思想，考查綜合分析與運算能力.滿分14分.

（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.

由題意可知，即ab=2.

解方程組得a=2，b=1.

所以橢圓的方程為.

(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知點A的坐標是（-2,0）.設點B的坐標為，直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k（x+2）.

于是A、B兩點的坐標滿足方程組消去y并整理，得

.

由，得.從而.

所以.

由，得.

整理得，即，解得k=.

所以直線l的傾斜角為或.

（ii）解：設線段AB的中點為M，由（i）得到M的坐標為.

以下分兩種情況：

（1）當k=0時，點B的坐標是（2,0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是

由，得。

（2）當時，線段AB的垂直平分線方程為。

令，解得。

由，，

，

整理得。故。所以。

綜上，或