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精英家教網如圖所示,在△ABC中,D、F分別是BC、AC的中點,
AE
=
2
3
AD
AB
=
a
AC
=
b

(1)用
a
b
表示向量
AD
AE
AF
BE
BF

(2)求證:B、E、F三點共線.
分析:(1)由題意作出輔助線構成平行四邊形ABGC,由四邊形法則和D是AG的中點求出
AD
,由題意求出
AE
,由F是AC的中點求出
AF
,再由向量減法的三角形法則求出
BE
BF

(2)由(1)求出
BE
=
2
3
BF
,故兩個向量共線,即B、E、F三點共線.
解答:精英家教網解:(1)如圖所示:解延長AD到G,使
AD
=
1
2
AG

連接BG、CG,得到四邊形ABGC,
∵D是BC和AG的中點,
∴四邊形ABGC是平行四邊形,則
AG
=
AB
+
AC
=
a
+
b

AD
=
1
2
AG
=
1
2
a
+
b
),
AE
=
2
3
AD
=
1
3
a
+
b
).
∵F是AC的中點,∴
AF
=
1
2
AC
=
1
2
b

BE
=
AE
-
AB
=
1
3
a
+
b
)-
a
=
1
3
b
-2
a
).
BF
=
AF
-
AB
=
1
2
b
-
a
=
1
2
b
-2
a
).
(2)證明:由(1)可知,
BE
=
1
3
b
-2
a
),
BF
=
1
2
b
-2
a
).
BE
=
2
3
BF
,即
BE
BF
是共線向量,所以B、E、F三點共線.
點評:本題考查了向量的線性運算和共線向量的等價條件,主要運用了向量的數乘運算,向量加法的四邊形和向量減法的三角形法則.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,在△ABC,已知AB=
4
6
3
cosB=
6
6
,AC邊上的中線BD=
5
,求:
(1)BC的長度;
(2)sinA的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示,在△ABC中,點D是邊AB的中點,則向量
DC
=(  )
A、
1
2
BA
+
BC
B、
1
2
BA
-
BC
C、-
1
2
BA
-
BC
D、-
1
2
BA
+
BC

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=
3
,在∠BAC內作射線AM交BC于點M,則BM<1的概率為(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=60°,AD⊥BC于D,則
AD
=(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=
3
,在∠BAC內作射線AM交BC于點M,求BM<1的概率.

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同步練習冊答案
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