Question

（2012•重慶）設函數f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在x=

π

6

處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數g（x）=

6cos4x-sin2x-1

f(x+ π 6 )

的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過函數的周期求出ω，求出A，利用函數經過的特殊點求出φ，推出f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）推出函數g（x）=

6cos4x-sin2x-1

f(x+ π 6 )

的表達式，通過cos²x∈[0，1]，且cos2x≠

1

2

，求出g（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知f（x）的周期為T=π，即

2π

ω

=π，解得ω=2．
因此f（x）在x=

π

6

處取得最大值2，所以A=2，從而sin（2×

π

6

+φ）=1，
所以

π

3

+φ=

π

2

+2kπ  ，k∈z，又-π＜φ≤π，得φ=

π

6

，
故f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（Ⅱ）函數g（x）=

6cos4x-sin2x-1

f(x+ π 6 )

=

6cos4x-sin2x-1

2sin(2x+ π 2 )

=

6cos4x-sin2x-1

2cos2x

=

6cos4x-sin2x-1

2(2cos2x -1)

=

6cos4x+cos2x-2

2(2cos2x -1)

=

(3cos2x+2)(2cos2x-1)

2(2cos2x -1)

=

3

2

cos2x+1  (cos2x≠

1

2

)
因為cos²x∈[0，1]，且cos2x≠

1

2

，
故g（x）的值域為[1，

7

4

)∪(

7

4

，

5

2

]．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查計算能力．