Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2．
（Ⅰ）求證：PD⊥BC；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；
（Ⅲ）求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證BC⊥PD，先證BC⊥平面PCD，根據兩平面垂直的性質定理可知平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD，即可證得BC⊥平面PCD；
（Ⅱ）取PD的中點E，連接CE、BE，根據二面角平面角的定義可知∠CEB為二面角B-PD-C的平面角，在Rt△CEB中求出此角的正切值即可；
（Ⅲ）過D作DF⊥PC于F，則DF為點D到平面PBC的距離，在等邊△PCD中求出DF即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵平面PCD⊥平面ABCD，
又平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，（3分）
∵PD?平面PCD，∴BC⊥PD；（4分）

（Ⅱ）解：取PD的中點E，連接CE、BE，
∵△PCD為正三角形，∴CE⊥PD，
由（Ⅰ）知BC⊥平面PCD，∴CE是BE在平面PCD內的射影，
∴BE⊥PD，∴∠CEB為二面角B-PD-C的平面角，（7分）
在△CEB中，∠BCE=90°，BC=2，CE=

3

，∴tan∠CEB=

BC

CE

=

2 3

3

，
∴二面角B-PD-C的大小為arctan

2 3

3

；（10分）

（Ⅲ）解：∵底面ABCD為正方形，∴AD∥BC，
∵BC?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AD∥平面PBC，∴點A到平面PBC的距離等于點D到平面PBC的距離，
過D作DF⊥PC于F，∵BC⊥平面PCD，∴BC⊥DF，∵PC∩BC=C，
∴DF⊥平面PBC，且DF∩平面PBC=F，∴DF為點D到平面PBC的距離，（13分）
在等邊△PCD中，DC=2，DF⊥PC，∴CF=1， DF=

DC2-CF2

=

3

，
∴點A到平面PBC的距離等于

3

．（14分）

點評：本題主要考查了二面角及其度量，以及平面與平面垂直的性質和點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．