Question

已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左焦點為，右焦點為，直線過點，且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于，垂足為點，線段的垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（3）設與軸交于點，不同的兩點在上（與也不重合），且滿足，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、平面內兩點間的距離公式等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質，以及數形結合的數學思想方法，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用直線與圓相切列出距離公式，求出橢圓中的基本量，比較簡單；第二問，考查拋物線的定義，本問主要考查理解題意的能力；第三問，與向量相結合，再加上基本不等式求最值.
試題解析：（1）由直線與圓相切，得，即.
由，得，所以，所以橢圓的方程是. （4分）
（2）由條件，知，即動點到定點的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義得點的軌跡的方程是.（6分）
（3）由（2）知，設，
∴
由，得，
∵，∴，
∴，當且僅當，即時等號成立.
又，
∵，∴當，即時，.
故的取值范圍是.(12分)
考點：1.橢圓的標準方程；2.點到直線的距離公式；3.拋物線的定義；4.基本不等式.